|a|≦１、|b|≦１、|c|≦１、|d|≦１ a＋b＝1,c＋d＝1
a,b,c,dが実数でこれらを満たすとき
ac＋bdの最大最小を求めよ
こういう問題ですが
わかりません
回答教えてください
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| [405] RE:a Name：フォン。 Date：2009/12/24(木) 00:33 |
どうもフォン。といいます。
とりあえずやってみます。
与えられている条件は
|a|≦１、|b|≦１、|c|≦１、|d|≦１であり、
また、a＋b＝1,c＋d＝1より
０≦a≦１,０≦b≦１,０≦c≦１,０≦d≦１
となります。
（↑直感的にわかると思います。式変形しても出てきます。）
で、ac+bdの最小なんですが、
単純に考えて０です。
０以上の数の積の和なので、０未満にはなれないです。
最大は、少し考えてみればわかると思いますが、
１でしょうね。
たとえばa=1,b=0,c=1,d=0のとき。
a,b,c,dは0以上1以下なので、
かければ小さくなってしまうので、
1を超えることはできません。
とまぁテストの解答に書くには
不十分すぎますが、
たぶん答えはあってると思います。
間違ってても、高校生なんで許してください笑
では失礼します
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| [406] RE:a Name：dehmel Date：2009/12/24(木) 09:28 |
まずは式変形をしてください。
この手の問題の定石として４変数関数とみなせますので、２変数関数に減らせるなら減らしましょう。
すると与式からa+b=1,d+c=1というのがありますのでこれをac+bdへ代入して式変形してください。
F=ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-(a+c)+1と変形できます。
ここで重要となるのは、aもしくはcのどちらかを定数とみなしていく事です。
やはり２変数関数だと同時に変化して行くこととなりますので非常に扱いにくいので、１変数とみなして考えていくとうまく解けます。
ここではaについて固定して考えていきます。
そうするとcについての１次関数とみなせますよね。
F=(2a-1)c+1-aとなります。
ここでaについての場合分けが必要となります。
というのもaが1/2以上か以下であるとこの直線の傾きが変化し最大値最小値が変わります。
0≦a≦1/2のとき
a≦F≦１-a
1/2≦a≦1のとき
1-a≦F≦a
となりますね。
次にaを動かしますと、調べるのは０≦a≦１/2の最大値の候補となっているものと、1/2≦a≦１で最大値の候補となっているものについて考えれば十分です。
すると最大値はa=0のとき1もしくはa=1のとき１になりますよね。
このことを踏まえれば、(a,b,c,d)=(1,0,1,0),(0,1,0,1)のとき最大値１を取るのが分かると思います。
この程度の説明で多分理解できると思います。
それでは失礼します。
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Date：2010/03/10(水) 00:19 [ 返信 ]